Matematika 2I

Oznamy

V piatok 24. apríla 2026 bude v čase od 12:00 v miestnostiach AB – 300. CD – 300 a DE – 300 druhý priebežný test z Matematiky 2 za 15 bodov.

Rozpis pre jednotlivé miestnosti bude tu.

 

Prednášajúci:Doc.RNDr. Boris Rudolf, CSc., 
                 miestnosť A-403
Cvičiaci:     PaeDr.Tomáš Visnyai, PhD.,
                 miestnosť A-401
Linky:IS Sylabus
Vyučovanie

Upozornenie

Stránku priebežne aktualizujeme.

Organizácia
Prednášky a cvičenia
Sylabus
Podmienky absolvovania
Oznamy
Literatúra

Organizácia predmetu

Predmet je členený do nasledujúcich aktivít:

  • Prednášky: 2 hodiny týždenne podľa rozvrhu
  • Cvičenie: 2 hodiny týždenne podľa rozvrhu
Rozvrh na letný semester 2026
Deň Miestnosť Čas Učiteľ
Prednáška Utorok AB-300   8:00 –  9:40 všetci študenti B.Rudolf
Cvičenie Streda DE-300   8:00 –  9:40 zapísaní študenti T.Visnyai
Cvičenie Streda DE-300 10:00 – 11:40 zapísaní študenti T.Visnyai
Cvičenie Streda DE-35   8:00 –  9:40 zapísaní študenti B.Rudolf
Cvičenie Streda DE-35 10:00 – 11:40 zapísaní študenti B.Rudolf
Cvičenie Piatok AB-35   8:00 –  9:40 zapísaní študenti T.Visnyai
Cvičenie Piatok AB-35 10:00 – 11:40 zapísaní študenti T.Visnyai

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prednášky a cvičenia

Na tomto mieste budeme vkladať materiály pre výuku na jednotlivé týždne.
V každom týždni bude prednáška v textovej podobe a video prednáška.
Pre cvičenia zverejňujeme ukážky príkladov s riešeniami a neriešené príklady na samostatné precvičenie látky.

9. týždeň

V tomto týždni je v utorok súťaž ŠVOČ, prednáška nie je.

Na cvičeniach pokračujeme v téme extrémy a začneme s popisom elementárnych oblastí v rovine, čím trochu predbehneme prednášku.

Prednášky.

Video: Video Prednáška 9.

Textová prednáška, ktorá pokrýva obsah videa je v minulom týždni prednáška č 8.
Aj obsah cvičení je o týždeň popredu, resp. video prednášky a aj živé prednášky mierne zaostávajú oproti textom.

Cvičenia.

Cvičenie9riešené.

8. týždeň

Absolútne extrémy funkcie viacerých premenných.
Dvojný integrál. Úvodné pojmy. Miera oblasti v rovine.

Prednášky.

Textová: Prednaska8.pdf
Video: Video Prednáška 8.

Cvičenia.

Cvičenie8riešené.
Neriešené Príklady 8: Priklady8.pdf

7. týždeň

Dokončenie kapitoly lokálne extrémy z minulého týždňa.
Viazané extrémy funkcie viacerých premenných.

Prednášky.

Textová: Prednaska7.pdf
Video: Video Prednáška 7.

Cvičenia.

Cvičenie7riešené.
Neriešené Príklady 7: Priklady7.pdf

6. týždeň

Lokálne extrémy funkcie viacerých premenných.
Stacionárne body.
Kritériá pre určenie lokálneho extrému pomocou druhého diferenciálu a Taylorovho polynómu druhého stupňa.

Prednášky.

Textová: Prednaska6.pdf
Video: Video Prednáška 6.
Vo videoprednáške 6 je v čase 1.15 nesprávne znamienko, zmiešaná derivácia má mať koeficient +2c. Pre ďalšie odvodenie je tento preklep nepodstatný, ďalej sa zmení znamienko vnútri zátvorky kvadratického výrazu.

Cvičenia.

Cvičenie6riešené.
Neriešené Príklady 6: Priklady6.pdf

5. týždeň

Dokončujeme kapitolou derivácia v smere a gradient z minulého týždňa.

Hovoríme o derivovaní zloženej funkcie viacerých premenných.
Reťazové pravidlo demonštrujeme na niektorých príkladoch.
Definujeme druhý diferenciál a Taylorov polynóm druhého stupňa.
Ide o pojmy, ktoré použijeme v kapitole o lokálnych extrémoch.

Prednášky.

Textová: Prednaska5.pdf
Video: Video Prednáška 5.
Vo videoprednáške 5 je v čase 32:30 preklep v označení parciálnej derivácie \ \large${\partial h}\over{\partial v}$.

Cvičenia.

Cvičenie5riešené.
Neriešené Príklady 5: Priklady5.pdf

4. týždeň

V tomto týždni bude na prednáške kapitola diferencovateľnosť funkcie a 1. diferenciál.
A pokračujeme kapitolou derivácia v smere a gradient.

Oproti uverejneným materiálom som s obsahom trochu pozadu.

Videoprednášku som natiahol viac ako sa patrí. Preto je aj taká posekaná.
Aj tak sa mi tam nevošiel príklad na gradient, ako smer maximálneho rastu.
Nájdete ho v textovej prednáške 4 na konci textu.

Prednášky.

Textová: Prednaska4.pdf
Video: Video Prednáška 4.
Chyba vo videu:
V prednáške 4 v čase 58:10 pri definícii gradientu je v poslednom riadku na tabuli chyba. Namiesto \large${\partial f}\over{\partial x}$ má byť druhá zložka gradientu \large${\partial f}\over{\partial y}$.

Cvičenia.

Cvičenie4riešené.
Neriešené Príklady 4: Priklady4.pdf

3. týždeň

Zostalo ešte dokončenie témy limita a spojitosť z minulého týždňa.
Potom začíname kapitolu diferenciálny počet funkcie viac premenných.
Zavedieme pojem parciálna derivácia.
Naučíme sa hľadať dotykovú rovinu ku grafu funkcie 2 premenných.
Dotykovú rovinu majú len diferencovateľné funkcie, povieme čo je diferencovateľnosť funkcie.
Zavedieme tiež 1. diferenciál funkcie viac premenných.

Prednášky.

Textová: Prednaska3.pdf
Video: Video Prednáška 3.

Cvičenia.

Cvičenie3riešené.
Neriešené Príklady 3: Priklady3.pdf

2. týždeň

Témou prednášky je limita a spojitosť funkcie viacerých premenných.
(Podstata pojmov je rovnaká ako pri funkcii jednej premennej, ale všimneme si aj významné rozdiely najmä pri limite zúženia na krivku.)

Prednášky.

Textová: Prednaska2.pdf
Video: Video Prednáška 2.

Cvičenia.

Cvičenie2riešené.
Neriešené Príklady 2: Priklady2.pdf

1. týždeň

Priamka a rovina vo viacrozmernom priestore.
Pojem funkcia viacerých premenných a základné pojmy s ňou súvisiace.
Geometrická predstava o grafe funkcie dvoch premenných x,y. Pojmy vrstevnica, parciálna funkcia.

Prednášky.

Textová: Prednaska1.pdf
Video: Video Prednáška 1.

Chyba vo videu:
Všimnite si chybu v obrázku priamky v priestore. Chyba je v čase cca 13:30.

Cvičenia.

Cvičenie1riešené.
Neriešené Príklady 1: Priklady1.pdf

Skúste výpočty a prípadne kreslenie grafov použitím vhodného editora.
(Napríklad: WolframAlpha.)
Najmä pre priestorovú predstavu funkcie dvoch premenných je vykreslenie grafov užitočné.

Sylabus

  1. Štruktúra priestoru R², R³. Funkcia viacerých premenných. Pojem funkcie.
  2. Limita a spojitosť funkcie viacerých premenných. Vlastnosti limity.
  3. Parciálna derivácia, derivácia v smere, gradient.
  4. Dotyková rovina, diferenciál a diferencovateľnosť funkcie viac premenných.
  5. Lokálne extrémy funkcie viacerých premenných. Stacionárne body.
  6. Druhé parciálne derivácie a druhý diferenciál.
  7. Taylorov rozvoj funkcie dvoch premenných. Aplikácie.
  8. Viazané extrémy, absolutné extrémy na uzavretej a ohraničenej množine.
  9. Úlohy vedúce k viacrozmerným integrálom. Pojem integrálu. Vlastnosti.
  10. Výpočet viacrozmerného integrálu postupnou integráciou.
  11. Substitúcia vo viacrozmernom integráli. Transformácia do polárnych súradníc.
  12. Aplikácie integrálneho počtu.

Podmienky absolvovania

Priebežné testy počas semestra: 30 bodov
Písomná skúška: 70 bodov

  1. Celkový počet bodov na skúške z M2 je 100.
  2. Počas semestra budú 2 testy, na ktorých môže študent získať 30 bodov. Prednášajúci a cvičiaci môžu počas semestra udeliť  bonusové body naviac.
    Orientačný termín testov: 1.test v šiestom týždni semestra, 2.test v desiatom týždni semestra.
  3. Nutnou podmienkou účasti na skúške z M2 je počas semestra získať aspoň 15 bodov.
  4. Skúška je písomná. Pozostáva z úloh na riešenie.
  5. Na záverečnej písomke môžete získať 70 bodov.
  6. Podvádzanie pri skúške má za následok hodnotenie nevyhovel.
  7. Rozsah úloh a ich bodové hodnotenie upresníme pred koncom semestra.
  8. Výsledná známka za predmet je odvodená od celkového počtu získaných bodov podľa platnej klasifikačnej stupnice.
  9. Neúčasť na skúške je potrebné ospravedlniť na PGO najneskôr do piatich dní a doložiť patričným dokladom. Pokiaľ sa študent neospravedlní do daného termínu, nemá nárok na náhradný termín.
  10. Na písomkách a na skúške sa nepoužívajú žiadne pomôcky.

Oznamy

V piatok 24. apríla 2026 bude v čase od 12:00 v miestnostiach AB – 300. CD – 300 a DE – 300 druhý priebežný test z Matematiky 2 za 15 bodov.
Rozpis pre jednotlivé miestnosti bude tu.

Výsledky 1. testu sú zapísané v AIS. Priemerný výsledok je 11 bodov.

V piatok 20. marca 2026 bude v čase od 12:00 v miestnostiach AB – 300. CD – 300 a DE – 300 priebežný test z Matematiky 2 za 15 bodov.
Bude mať 3 príklady z oblastí: Definícia funkcie, Limita a spojitosť, Dotyková rovina a diferencovateľnosť a Derivácia v smere a gradient.
Rozpis pre jednotlivé miestnosti: RozpisTest1.pdf.

Skriptum:

Tu nájdete spísané prednášky do podoby skrípt.
Matematika 2

Základná:

  • SATKO, L. – ŠULKA, R. Matematická analýza 2 : Diferenciálny a integrálny počet funkcie viac premenných. Bratislava: STU v Bratislave, 1995. 160 s.
  • MORAVSKÝ, L. — MORAVČÍK, J. — ŠULKA, R. Matematická analýza 2. Bratislava: Alfa, 1992. 552 s.
  • BRABEC, J. — HRŮZA, B. Matematická analýza II. Praha: SNTL, 1986. 579 s.

Odporúčaná:

  •  Edwards, C.H., Penney, D.E.: Calculus and Analytic Geometry, (3rd edition), Prentice Hall International, New York 1990
  •  Glyn, J.: Modern engineering mathematics, Addison Wesley, 2008

Ďalšie príklady na riešenie môžete nájsť v elektronickej literature uvedenej nižšie.Tiež v zbierke:

  •   Eliáš, Horvath, Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky 3. resp. 4. diel.

Ďalšia literatúra:

Tu je elektronická verzia literatúry, (autor Doc. RNDr. Ladislav Satko CSc.):
(pre tento predmet sú relevantné kapitoly 3 a 4. Kvôli pohodliu čitateľa sú predchádzajúce kapitoly 1 a 2 z textu vypustené)
Matematická analýza – pdf